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Tema 3 · Cálculo vectorial
Tres módulos interactivos: cómo se define y se deriva una curva, cómo se integra y se mide su longitud, y cómo se mueve el triedro de Frenet a lo largo de ella.
Una curva en el espacio es una función que le asigna un punto a cada instante t. Aquí vemos cómo se define, qué pasa cerca de un punto y hacia dónde se mueve.
Arrastra para girar. Doble clic restablece.
Al escribir, la curva pasa a ser propia y se redibuja. Usa la sintaxis de math.js: sin(t), cos(t), t^2, sqrt(t), pi.
Una función vectorial asigna a cada t un punto del espacio. Al recorrer t, ese punto dibuja la curva.
Un vector tiene límite cuando cada una de sus componentes lo tiene. Acércate a t₀ por los dos lados y mira qué hace cada coordenada. Pasa el cursor por una fila para ver ese punto en la curva.
| t | x(t) | y(t) | z(t) |
|---|
En t = 2π la cicloide toca el piso y forma un pico, pero sigue siendo continua: el límite existe y coincide con r(2π). Lo que se pierde ahí es la suavidad, porque r′(2π) = 0 y la curva se detiene antes de cambiar de dirección. Eso es lo que se retoma en el módulo 2.
r′(t) es la velocidad: apunta hacia donde avanza la curva. r″(t) es la aceleración. En la escena, las flechas se dibujan a la mitad de su tamaño real.
En este instante r′(t) = 0: la partícula se detiene y no hay dirección de movimiento. Es el caso que el módulo 2 usa para explicar por qué el triedro de Frenet no siempre existe.
Derivar lleva de la posición a la velocidad; integrar hace el camino de vuelta. Y la norma de la velocidad, integrada, mide cuánto mide una curva.
Con aceleración constante a = ⟨0, 0, −g⟩, integrar una vez da la velocidad y otra vez la posición. Las constantes de integración son las condiciones iniciales.
r(t) = ⟨v₀ t cos θ, 0, v₀ t sen θ − ½ g t²⟩
Arrastra para girar. Doble clic restablece.
Sustituye la curva por n segmentos rectos. Al aumentar n, la poligonal se pega a la curva y su longitud se acerca a la integral de ‖r′‖.
Arrastra para girar. Doble clic restablece.
El módulo 1 respondió hacia dónde va una partícula y qué tan rápido. Aquí vemos cómo está orientada su trayectoria en cada instante y cuánto se dobla.
Tres vectores unitarios y perpendiculares entre sí viajan con la partícula y giran con la curva.
r(t) = ⟨cos t, sen t, t/3⟩, t ∈ [0, 2π]
Arrastra para girar. Haz clic y usa la rueda para acercar. Doble clic restablece.
El círculo que mejor se pega a la curva en cada punto. Su radio es R = 1/κ y vive en el plano de T y N.
r(t) = ⟨cos t, sen t, t/3⟩, t ∈ [0, 2π]
Arrastra para girar. Haz clic y usa la rueda para acercar. Doble clic restablece.
La aceleración normal, aN = κ v², mide cuánto empuja la pista al carrito hacia el centro de la curva; en unidades de g da una idea de la fuerza que siente el pasajero (sin contar su peso). Depende de cuánto se dobla la pista y de qué tan rápido va el carrito.
r(u) = ⟨20 cos u, 14 sen u, 7 − 5 cos 2u⟩ m, u ∈ [0, 2π]
Curvatura κ de la pista (1/m)
Arrastra para girar. Haz clic y usa la rueda para acercar. Doble clic restablece.